Taux réciproque

Le minimum à savoir pour réussir l'épreuve de maths au bac STMG.

C'est le taux qui, après une évolution, permet de revenir à la valeur de départ.

Cas des faibles pourcentages

Quand le pourcentage d'augmentation est très petit (moins de 5 % par exemple), on peut obtenir une approximation correcte de la valeur de départ en soustrayant ce pourcentage.

\[\text{50 €}~\xrightarrow{\text{+4 %}}~\text{52 €}~\xrightarrow{\text{-4 %}}~\text{49,92 €}\]

On ne se trompe pas beaucoup en disant que les taux d'évolution +4 % et −4 % sont réciproques.
Avec des pourcentages plus importants ce principe devient complètement faux :

\[\text{100 €}~\xrightarrow{\text{+50 %}}~\text{150 €}~\xrightarrow{\text{-50 %}}~\text{75 €}\]

On voit ici que le taux réciproque de +50 % n'est pas −50 %.

Cas général

C'est encore le coefficient multiplicateur \(c\) qui permet de trouver la valeur correcte :

\[\text{valeur de départ} ~ \begin{matrix}\xrightarrow{\displaystyle{×c}} \\ \xleftarrow[\displaystyle{×\frac1c}]{}\end{matrix}~\text{valeur finale}\]

Partant d'un taux d'évolution \(t\), on peut trouver le taux réciproque \(t_R\) en appliquant la méthode suivante :

  1. coefficient multiplicateur : \(c=t+1\)
  2. coefficient multiplicateur réciproque \(c_R=\dfrac1c\)
  3. taux réciproque : \(t_R=c_R-1\)

Ou directement : \(t_R=\dfrac{1}{t+1}-1\)


Exemple : recherche du taux réciproque d'une augmentation de 50 % (\(t=+0,50\))

  1. coefficient multiplicateur : 1,50
  2. coefficient multiplicateur réciproque \(\dfrac{1}{1,50}≈0,667\)
  3. taux réciproque : 0,667 − 1 = −0,333 soit −33,3 %

Ou directement : \(\dfrac{1}{0,50+1}-1≈-0,333\) soit −33,3 %

Voir aussi

Coefficient multiplicateur
Évolutions successives
Taux d'évolution
Taux d'évolution moyen