Taux d'évolution moyen

Le minimum à savoir pour réussir l'épreuve de maths au bac STMG.

Comment caluler un taux d'évolution moyen (annuel ou mensuel en général)

Deux éléments essentiels : le coefficient multiplicateur global \(c\) et le nombre d'évolutions \(n\).

  1. Trouver le coefficient multiplicateur global (parfois il est donné)
    Selon les données de l'exercice on utilisera
    soit :
    \[c = \dfrac{\text{valeur d'arrivée}}{\text{valeur de départ}}\]
    soit :
    \[c = \text{taux d'évolution global}+1\]
  2. Trouver le coefficient multiplicateur moyen.
    \[\text{coefficient moyen} = c^{1/n}\]
  3. Conclure
    taux d'évolution moyen = coefficient moyen − 1

 

Exemple 1 - avec les valeurs de départ et d'arrivée (Sujet La Réunion, juin 2010)
Le nombre de voitures particulières, en milliers, passe de 472,63 en mars 2008 à 394,62 en mars 2009. Quel est le taux d'évolution mensuel moyen ?
Ici le coefficient multiplicateur global est \(c=\dfrac{394,62}{472,63}~≈~0,8349\), et le nombre d'évolutions est \(n=12\).
Donc \(\text{coefficient moyen} = 0,8349^{1/12} ≈ 0,9851\).
Le taux d'évolution correspondant est 0,9851 − 1 = −0,0149 soit −1,49%.

 

Exemple 2 - le coefficient multiplicateur est donné (Sujet Nouvelle Calédonie, novembre 2011)
Si le nombre de transistors par puce électronique double tous les dix-huit mois, quel est le taux
moyen mensuel d’évolution ?
Ici le coefficient multiplicateur global est \(c=2\) (le nombre double), et le nombre d'évolutions est \(n=18\).
Donc \(\text{coefficient moyen} = 2^{1/18} ≈ 1,039\).
Ce coefficient correspond à un taux d'évolution moyen de 0,039 soit +3,9% par mois.

Approximation avec des pourcentages faibles

Quand les pourcentages en jeu sont faibles (inférieurs à 5 % par exemple), on peut juste diviser le taux d'évolution par le nombre de périodes.

Exemple 3 (Sujet Polynésie, juin 2009)
Le chiffre d'affaire d'une entreprise a baissé de 9 % en trois ans. Quel est le taux d'évolution annuel moyen du chiffre d'affaires ?
Ici on peut se contenter de l'estimation \(\dfrac{9~\%}{3}=3~\%\) car une évolution de +3 % est suffisamment faible (en faisant le calcul exact détaillé ci-dessus, on trouverait plutôt +2,9 %).

Dans les QCM au bac

Dans les QCM, il n'y a pas besoin de calculer les taux moyens. Il suffit de simuler des évolutions successives avec les différents taux proposés, et choisir celui qui convient le mieux.

Avec la calculatrice

Avec les calculatrices qui ne sont pas en mode 2D, l'une des erreurs classiques est l'oubli des parenthèses.
L'exemple 1 ci-dessus se calculerait en tapant :

(394.62/472.63)^(1/12)

Voir aussi

Coefficient multiplicateur
Évolutions successives
Taux réciproque
Taux d'évolution