Optimiser un nombre sous contraintes avec un tableau

Le minimum à savoir pour réussir l'épreuve de maths au bac STMG.

L'exemple qui suit est tiré du sujet de Nouvelle-Calédonie tombé en novembre 2011.

Dans un lycée, un groupe d'élèves se charge de la distribution de pains au chocolat et de croissants. Ils doivent disposer au minimum de 108 pains au chocolat et 96 croissants.
Deux boulangers proposent :
  • l'un le lot A comprenant 12 pains au chocolat et 8 croissants
  • l'autre le lot B comprenant 8 pains au chocolat et 12 croissants
On note \(x\) le nombre de lots A achetés et \(y\) le nombre de lots B achetés.

Les contraintes sont les suivantes :

\[\left\{\begin{matrix}x&\geqslant&0 \\ y&\geqslant&0\\y&\geqslant&-\dfrac32 x+13,5\\y&\geqslant&-\dfrac23 x+8\end{matrix}\right.\]

On a colorié sur le graphique la partie du plan qui ne convient pas. Pour cela on a commencé par tracer les droites d'équation \(y=-\dfrac32 x+13,5\) et \(y=-\dfrac23 x+8\).

Ensuite on élimine dans le tableau de valeurs celles qui correspondent à des couples \((x~;~y)\) de la zone coloriée : La case bleue correspond au point bleu.

    A   BCDEFGHIJKL
1\(y\)
\(x\)
012345678910
200102030405060708090100
31122232425262 728292 102 112
42 24 34 44 54 64 74 84 94 104 114 124
53 36 46 56 66 76 86 96 106 116 126 136
64 48 58 68 78 88 98 108 118 128 138 148
75 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160
86 72 82 92 102 112 122 132 142 152 162 172
97 84 94 104 114 124 134 144 154 164 174 184
108 96 106 116 126 136 146 156 166 176 186 196
119 108 118 128 138 148 158 168 178 188 198 208
1210 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220

La question était de trouver la dépense minimale qui correspond aux contraintes : on cherche la plus petite valeur qui reste dans le tableau. C'est 120, pour \(x=5\) et \(y=6\).

Voir aussi

Équation de droite
Optimiser un nombre sous contrainte avec un graphique