Optimiser un nombre sous contraintes avec un graphique

Le minimum à savoir pour réussir l'épreuve de maths au bac STMG.

L'exemple qui suit est tiré du sujet de Polynésie tombé en juin 2011.

Un propriétaire de camping désire aménager son terrain avec des bungalows et des mobil-homes.

La taille de son terrain lui impose un maximum de 50 installations. Il peut loger 6 personnes par bungalow et 4 personnes par mobil-home. L'infrastructure du camping ne l'autorise pas à dépasser le nombre de 240 clients par semaine.
 
On notera \(x\) le nombre de bungalows et \(y\) le nombre de mobil-homes que le propriétaire désire installer.


Les contraintes sont les suivantes :

\[\left\{\begin{matrix}x&\geqslant&0 \\ y&\geqslant&0\\y&\leqslant&-x+50\\y&\leqslant&-1,5x+60\end{matrix}\right.\]

On a colorié sur le graphique la partie du plan qui ne convient pas. Pour cela on a commencé par tracer les droites d'équation \(y=-x+50\) et \(y=-1,5x+60\).
Le point A, qui correspond à 10 bungalows et 35 mobil-homes, est dans la zone non-coloriée donc cette situation est possible pour le propriétaire.
En revanche le point B, qui correspond à 30 bungalows et 20 mobil-homes, est dans la zone coloriée donc cette situation est impossible.

On ajoute, en noir, la droite d'équation \(y=-1.25x+30\), qui correspond à un revenu de 12 000 €.
Les autres revenus possibles sont représentés par des droites parallèles.
En déplaçant la droite on cherche le point de la zone autorisée qui donne le meilleur revenu : c'est le point (20 ; 30).
Le revenu correspondant est 500€×20 + 400€×30 = 22 000 €

Voir aussi

Équation de droite
Optimiser un nombre sous contrainte avec un tableau