Logarithme

Le minimum à savoir pour réussir l'épreuve de maths au bac STMG.

Aperçu


Valeurs

  • Le logarithme est défini seulement pour \(x > 0\)
  • ln(1) = 0
  • Si \(x <1\), \(\ln(x) < 0\)
  • Si \(x >1\), \(\ln(x) > 0\)
  • ln(e) = 1 (avec e ≈ 2,718)

 

Propriétés

La fonction logarithme est la réciproque de la fonction exponentielle :
\[\ln\left(\text{e}^x\right) = \text{e}^{\ln(x)} = x\]
Elle transforme les produits (×) en sommes (+) :
\[\ln(a\times b) = \ln(a)+\ln(b)\]
Conséquences :

  • \(\ln\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln(a)-\ln(b)\)
  • \(\ln\left(\dfrac{1}{x}\right) = -\ln(x)\)
  • \(\ln\left(x^n\right) = n\ln(x)\)
  • \(\ln\left(\sqrt{x}\right) = \dfrac12\ln(x)\)

 

Dérivée

La dérivée de la fonction \(\ln(x)\) est \(\dfrac1x\).
La dérivée de la fonction \(\ln(ax+b)\) est \(\dfrac{a}{ax+b}\).
Et de façon générale, si \(u\) est une fonction, la dérivée de \(\ln(u)\) est \(\dfrac{u'}{u}\).