Évolutions successives

Le minimum à savoir pour réussir l'épreuve de maths au bac STMG.

C'est un cas où le coefficient multiplicateur se montre très pratique. Le piège à éviter est d'additionner les pourcentages, ce qui ne donne pas les bons résultats :

\[100~€~\xrightarrow{+50~\%}~150~€~\xrightarrow{+40~\%}~210~€\]

Clairement, l'augmentation n'est pas de +90 %.

Appliquer successivement des taux d'évolution différents

À chaque évolution, on multiplie par le coefficient multiplicateur correspondant.
Exemple avec un prix de 50 € qui évolue successivement de +15 %, +45 % puis −20 % :

\[50~€~\xrightarrow[×1,15]{+15~\%}~~\xrightarrow[×1,42]{+42~\%}~~\xrightarrow[×0,8]{-20 ~\%}~65,32~€\]

Ici le coefficient multiplicateur global est 1,15×1,42×0,8 = 1,3064 ce qui correspond à un taux d'évolution global de +30,64 %. Et c'est vrai pour n'importe quelle valeur de départ.

Remarque : quand les pourcentages sont très petits (inférieurs à 5 % par exemple), on peut obtenir rapidement une approximation correcte en additionnant tous les pourcentages. Par exemple pour deux diminutions successives de 3 % puis de 4 %, on obtient presque une diminution de 7 % :
\[100~€~\xrightarrow[×0,97]{-3~\%}~~\xrightarrow[×0,96]{-4~\%}~93,12~€\]

Appliquer plusieurs fois le même taux d'évolution

On multiplie plusieurs fois par le même coefficient multiplicateur, ce qui mène à l'utilisation des puissances.

Ainsi une valeur qui baisse 4 fois de suite de 10 % sera multipliée par 0,904 = 0,6561.
Le taux d'évolution correspondant est 0,6561 − 1 = −0,3439 ce qui correspond à une baisse de 34,39 %. Et c'est vrai pour n'importe quelle valeur de départ.

Au bac, c'est la méthode qu'on utilise dans les QCM pour vérifier si un taux moyen est correct.

Cela donne lieu aussi à des exercices sur les suites géométriques et à des applications sur tableur.