Dérivée

Le minimum à savoir pour réussir l'épreuve de maths au bac STMG.

Le principe

Partant d'une fonction f, sa dérivée est une autre fonction, notée f ', qui donne des informations sur le sens de variation de f :

  • Quand la dérivée est positive, la fonction est croissante.
  • Quand la dérivée est négative, la fonction est décroissante.

Plus précisément, pour chaque valeur de x la dérivée donne le coefficient directeur de la tangente :



Tableau de signe correspondant :

\(x\)−1134
signe de \(f~'\)
0
+
0
+
\(f\)
\(\dfrac83\)
2

 

Dérivées des fonctions de références

Fonction primitive
f

Fonction dérivée
f '

Exemple

nombre (fonction constante)0Si f(x) = 5 alors f '(x) = 0
ax+b (fonction affine) aSi f(x) = 5x+3 alors f '(x) = 5
x22x 
xnnxn−1Si f(x) = x3 alors f '(x) = 3x2
\(\dfrac1x\)\(-\dfrac{1}{x^2}\) 
\(\sqrt x\)\(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) 
\(\ln(x)\)\(\dfrac1x\) 
\(\text{e}^x\)\(\text{e}^x\) 

 

 

Calcul de dérivées

Si u(x) et v(x) sont deux fonctions :

 

Fonction primitive
f

Fonction dérivée
f '

ku (k est une constante)k
u+vu'+v'
u×vu'v + uv'
unnu'un−1
 \(\dfrac1u\) \(-\dfrac{u'}{u^2}\)
 \(\dfrac{u}{v}\) \(\dfrac{u'v-v'u}{v^2}\)
\(\text{e}^u\)\(u'\text{e}^u\)
\(\text{e}^{ax+b}\)\(a\text{e}^{ax+b}\)
\(\ln(u)\)\(\dfrac{u'}{u}\)
\(\ln(ax+b)\)\(\dfrac{a}{ax+b}\)

 

 

Exemple au bac

(Nouvelle Calédonie, novembre 2011)
\(f\) est la fonction définie sur [0 ; 6] par
\(f(x) = 0,5x + \text{e}^{-0,5x + 1}.\)

  • Calculer \(f~'(x)\) et montrer que \(f~'(x) = 0,5\left(1 - \text{e}^{-0,5x + 1}\right)\).

    La dérivée de \(0,5x\) est 0,5.
    Celle de \(\text{e}^{-0,5x + 1}\) est \(-0,5\text{e}^{-0,5x + 1}\).
    Donc \(f~'(x) = 0,5 - 0.5\text{e}^{-0,5x + 1}\).

    Pour finir, on peut factoriser 0,5 :
    \(f~'(x) = 0,5 \left( 1 - \text{e}^{-0,5x + 1}\right)\).

  • En déduire le tableau de variations de \(f\).

    On cherche le signe de la dérivée : quand est-elle positive ?
    Pour cela on résout l'inéquation \(f~'(x) \geqslant 0\) :

    \(0,5 \left( 1 - \text{e}^{-0,5x + 1}\right) \geqslant 0\)
    \(1 - \text{e}^{-0,5x + 1} \geqslant 0\)
    \(1 \geqslant \text{e}^{-0,5x + 1} \)

    En appliquant le logarithme aux deux membres de l'égalité, on obtient :
    \(0 \geqslant -0,5x + 1 \)
    \(0,5x \geqslant 1 \)
    Et finalement, en multipliant par 2 :
    \(x \geqslant 2\)

    Le tableau de variations est donc :

\(x\)026
signe de \(f~'\)
0
+
\(f\)
2