Suites

Le minimum à savoir pour réussir l'épreuve de maths au bac S.

Notations

Une suite est une liste de nombres appelés les termes, qui sont numérotés à partir de 0 la plupart du temps. Sinon c'est signalé dans l'exercice.

La suite de ce résumé concerne les suites numérotées à partir de 0.

\(u_0\) ou \(u(0)\) Le premier terme
\(u_1\) ou \(u(1)\) Le 2e terme
\(u_2\) ou \(u(2)\) Le 3e terme
\(u_n\) ou \(u(n)\) Un terme quelconque
\(u_{n+1}\) ou \(u(n+1)\) Le terme suivant
\(u_{n-1}\) ou \(u(n-1)\) Le terme précédent
\(u_{n+1}-u_n\) L'écart entre 2 termes consécutifs
\(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) Le rapport entre 2 termes consécutifs


Attention sur les copies à bien écrire les indices : \(u_n+1\) et \(u_{n+1}\) ne signifient pas la même chose.

Formule explicite

Ce type de formule donne directement la valeur de n'importe quel terme \(u_n\) en fonction de son rang \(n\).


La formule utilisée dans cet exemple, \(u_n=5×0,9^n\), est explicite.

Relation de récurrence

Ce type de formule donne, à partir de la valeur d'un terme \(u_n\), la valeur du terme suivant \(u_{n+1}\).
Cela nécessite de donner explicitement la valeur d'un terme, en général \(u_0\), par exemple :

\(\begin{cases} u_0=-0,5 \\ u_{n+1}=\sqrt{4 u_n+4} \end{cases} \)

Cette suite peut se représenter graphiquement de deux manières :

Le graphique habituel avec \(n\) en abscisse et \(u_n\) en ordonnée :

Le graphique « en chemin » où \(n\) n'est pas représenté, et \(u_n\) se lit sur les deux axes.
Ci-dessous, les termes \(u_n\) n'ont été mis en évidence que sur l'axe horizontal. On peut les lire sur l'axe des ordonnées en prolongeant les segments noirs horizontaux.
En pointillés oranges, la droite d'équation \(y=x\), qui permet de passer des abscisses aux ordonnées.
En bleu, la courbe de la fonction qui permet de passer d'un terme au suivant.



Variations

 

Une suite est croissante si chaque terme est supérieur ou égal au précédent (pour tout indice \(n\) on a \(u_{n+1} \geqslant u_n\))
Une suite est décroissante si chaque terme est inérieur ou égal au précédent (pour tout indice \(n\) on a \(u_{n+1} \leqslant u_n\))
Si tous ses termes sont égaux, on dit qu'elle est constante.
Une suite constante, croissante ou décroissante est dite monotone.

 


Trois suites monotones

Suite non monotone

Encadrement

Suite majorée par un nombre \(M\) (le majorant): tous ses termes sont inférieurs à \(M\).
Suite minorée par un nombre \(m\) (le minorant): tous ses termes sont supérieurs à \(m\).
Une suite à la fois majorée et minorée est dite bornée.

 


Majorée par 3. Pourtant elle est strictement croissante.

Non majorée : aucun nombre n'est supérieur à tous les termes à la fois.


Ni majorée ni minorée


Bornée par 1 et -1 à partir du rang \(n=4\).

 

Voir aussi

Limites de suites
Raisonnement par récurrence
Suite arithmétique
Suite géométrique