Suite géométrique

Le minimum à savoir pour réussir l'épreuve de maths au bac S.

Définition

Le rapport entre deux termes consécutifs est une constante, la raison.
Autrement dit on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre.

Si on note q la raison :

Formule directe : \(u_n = u_0\times q^n\)
Relation de récurrence : \(u_{n+1}=u_n \times q\)

Somme des premières puissances d'un nombre

\(1+q+q^2+...+q^n = \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\) (démonstration exigible au bac)

On peut en déduire la formule de la somme des premiers termes d'une suite géométrique (formule qui n'est plus au programme depuis 2012) :

\(u_0+u_1+...+u_n=u_0 \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\)

Variations et limites

Démonstration exigible au bac : démontrer que la suite \(q^n\) avec \(q>1\), a pour limite +∞.

Si le premier terme \(u_0\) est égal à 0, la suite est constante. Tous ses termes, et sa limite, valent 0.
Hors de ce cas sans intérêt :

q > 1


Premier terme \(u_0 > 0\) : la suite est strictement croissante.

Premier terme \(u_0<0\) : suite strictement décroissante
\(\lim\limits_{n\to +\infty}u_n = +\infty\)
La suite n'est pas majorée.
\(\lim\limits_{n\to +\infty}u_n = -\infty\)
La suite n'est pas minorée.

q = 1


La suite est constante.
\(\lim\limits_{n\to +\infty}u_n = u_0\)

0 < q < 1

Premier terme \(u_0 > 0\) : la suite est strictement décroissante et strictement positive.
\(\lim\limits_{n\to +\infty}u_n = 0\)
Premier terme \(u_0<0\) : suite strictement croissante et strictement positive
\(\lim\limits_{n\to +\infty}u_n = 0\)

q = 0


La suite est nulle à partir du deuxième terme
\(\lim\limits_{n\to +\infty}u_n = 0\)

−1 < q < 0


La suite n'est pas monotone, elle change de signe à chaque terme (suite alternée).
Elle est bornée, et \(\lim\limits_{n\to +\infty}u_n = 0\)

q = −1


La suite n'est pas monotone, elle change de signe à chaque terme (suite alternée).
Elle est bornée mais n'a pas de limite.

q < −1


La suite n'est pas monotone, elle change de signe à chaque terme (suite alternée).
Elle n'est ni majorée ni minorée, et n'a pas de limite.