Polynôme du second degré

Le minimum à savoir pour réussir l'épreuve de maths au bac S.

Ce sont les fonctions du type \(f(x)=ax^2+bx+c\), où \(a, b\) et \(c\) sont des nombres réels, et \(a\neq0\).
On précise \(a\neq0\), sinon la fonction est affine.

Les trois formes

Forme développée : \(ax^2+bx+c\)

Les nombres \(a, b\) et \(c\) sont appelés les coefficients du polynôme.
Ils permettent de calculer le discriminant du polynôme \(Δ=b^2-4ac\).

Forme canonique : \(a(x-α)^2-β\)

Avec \(α = -\dfrac{b}{2a}\)
et \(β = \dfrac{Δ}{4a}\)
Ces deux nombres donnent les coordonnées du sommet de la parabole : l'extrémum de la fonction est \(β\), et il est atteint pour \(x=α\).

Forme factorisée : \(a(x-x_1)(x-x_2)\)

où \(x_1\) et \(x_2\) sont les racines (dans ℝ ou dans ℂ) du polynôme.
Dans ℝ, les polynômes qui n'ont pas de racines n'ont pas non plus de forme factorisée.
Dans ℂ, tous les polynômes du second degré ont des racines, et donc une forme factorisée.

Dans ℝ

Ensemble de définition :
Discriminant : \(Δ=b^2-4ac\)
Symétrie : courbe symétrique par rapport à la droite d'équation \(x=-\dfrac{b}{2a}\)
Courbe : parabole
Dérivée : \(f'(x)=2ax+b\)

 Δ > 0Δ = 0Δ < 0
a > 0

Maximum : aucun
Minimum : \(-\frac{Δ}{4a} < 0\)

Maximum : aucun
Minimum : \(-\frac{Δ}{4a} = 0\)

Maximum : aucun
Minimum : \(-\frac{Δ}{4a} > 0\)
 
Δ > 0

Δ = 0

Δ < 0
a < 0

Maximum : \(-\frac{Δ}{4a} > 0\)
Minimum : aucun

Maximum : \(-\frac{Δ}{4a} = 0\)
Minimum : aucun

Maximum : \(-\frac{Δ}{4a} < 0\)
Minimum : aucun

Équation du second degré dans ℝ

L'équation a 0, 1 ou 2 solutions.
Si on trouve deux solutions « évidentes », ce sont donc les deux seules et le problème est résolu.
Sinon, quand l'équation est sous sa forme développée \(ax^2+bx+c = 0\), on calcule le discriminant

\(Δ=b^2-4ac\)
Si Δ < 0, l'équation n'a aucune solution.
Si Δ = 0, elle a une seule solution \(x=-\dfrac{b}{2a}\) .
Si Δ > 0, elle a deux solutions réelles \(x_1=\dfrac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}\) et \(x_2=\dfrac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}\) .

Équation du second degré dans ℂ

La méthode de résolution est la même que dans ℝ.

Cette fois si Δ < 0, l'équation a deux solutions complexes :
\(z_1=\dfrac{-b-\mathrm{i}\sqrt{-Δ}}{2a}\) et \(z_2=\dfrac{-b+\mathrm{i}\sqrt{-Δ}}{2a}\)

Les autres cas sont les mêmes que dans ℝ :
Si Δ = 0, elle a une seule solution \(x=-\dfrac{b}{2a}\) .
Si Δ > 0, elle a deux solutions réelles \(x_1=\dfrac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}\) et \(x_2=\dfrac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}\) .