Logarithme

Le minimum à savoir pour réussir l'épreuve de maths au bac S.

Aperçu


Ensemble de définition : ]0 ; +∞[
Strictement croissante.

Valeurs

  • ln(1) = 0
  • ln(e) = 1 (avec e ≈ 2,718)
  • \(\ln(a) = b ⇔ a=\text{e}^b\)
  • \(\ln(x)<x\) pour tout \(x>0\)

 

Propriétés

La fonction logarithme est la réciproque de la fonction exponentielle :

Pour tout \(x > 0\) \(\text{e}^{\ln(x)} = x\)
Pour tout \(x\) de ℝ, \(\ln\left(\text{e}^x\right) = x\)
Les courbes des fonctions exp et ln sont symétriques par rapport à l'axe \(y=x\).

Le logarithme transforme les produits (×) en sommes (+) :
\[\ln(a\times b) = \ln(a)+\ln(b)\]
Conséquences :

  • \(\ln\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln(a)-\ln(b)\)
  • \(\ln\left(\dfrac{1}{x}\right) = -\ln(x)\)
  • \(\ln\left(x^n\right) = n\ln(x)\)
  • \(\ln\left(\sqrt{x}\right) = \dfrac12\ln(x)\)

Lien avec les puissances :
\[a^b = \text{e}^{b \ln(a)}\]

Dérivée - Primitive

La dérivée de la fonction \(\ln(x)\) est \(\dfrac1x\).
La dérivée de la fonction \(\ln(ax+b)\) est \(\dfrac{a}{ax+b}\).
Et de façon générale, si \(u\) est une fonction, la dérivée de \(\ln(u)\) est \(\dfrac{u'}{u}\).

Les primitives de \(ln(x)\) sont de la forme \(x\ln(x)-x+c\) où \(c\) est une constante.

Limites

\(\lim\limits_{x → +∞}\ln x = +∞\)

\(\lim\limits_{x → 0}\ln x = -∞\)

\(\lim\limits_{x → 0}\dfrac{\ln(1+x)}{x} = 1\) (dérivée de la fonction \(\ln x\) en 1)

\(\lim\limits_{x → +∞}\dfrac{\ln x}{x} = 0\)