Limites de suites

Le minimum à savoir pour réussir l'épreuve de maths au bac S.

Limite finie

Si les termes d'une suite se rapprochent toujours plus d'un nombre fini ℓ, on dit que \(\lim\limits_{n\to+∞} u_n = \text{ℓ}\).
Une définition plus rigoureuse est que si on choisit un intervalle autour de ℓ, aussi petit soit-il, à partir d'un certain rang tous les termes de la suites sont dans cet intervalle.

La suite \(u_n=2-3^{1,2n}\) . Sa limite est 2.
À partir du rang 4, tous ses termes sont dans l'intervalle [1,5 ; 2,5].
La meme suite, cette fois avec l'intervalle [1,8 ; 2,2]
Cette fois c'est à partir du rang 9 que tous ses termes sont dans l'intervalle.

Les limites finies à connaître

Toutes ces suites tendent vers 0 :

\(\dfrac1n\)     \(\dfrac{1}{n^2}\)     \(\dfrac{1}{n^3}\) et plus généralement \(\dfrac{1}{n^k}\)avec \(k\) entier > 1, ainsi que \(\dfrac{1}{\sqrt n}\)

Les suites géométriques de raison strictement comprise entre −1 et 1 tendent aussi vers 0.

Suites croissantes majorées, ou décroissantes minorées

C'est un théorème admis en terminale : une suite croissante et majorée a une limite finie.
Une suite décroissante minorée aussi.

Limite infinie

La limite d'une suite est +∞ quand, quel que soit le nombre M, à partir d'un certain rang tous les termes de la suite sont supérieurs à M.
La limite d'une suite est −∞ quand, quel que soit le nombre m, à partir d'un certain rang tous les termes de la suite sont inférieurs à m.

Une suite ni majorée ni minorée, pourtant elle n'a pas de limite.\(\lim\limits_{n → +∞} \sqrt n = +∞\)
On peut choisir n'importe quel nombre M, aussi grand qu'on veut, certains termes de la suite seront supérieurs.

Les limites infinies à connaître

Toutes ces suites tendent vers +∞ :

\(n\)     \(n^2\)     \(n^3\) et plus généralement \(n^k\)avec \(k\) entier > 1, ainsi que \(\sqrt n\)

Les suites arithmétiques de raison strictement positive tendent vers +∞.
Les suites arithmétiques de raison strictement négative tendent vers −∞.

Les suites géométriques de raison strictement supérieure à 1 tendent vers +∞ si leur premier terme est strictement positif.
Les suites géométriques de raison strictement supérieure à 1 tendent vers −∞ si leur premier terme est strictement négatif.

Limites et comparaison

Si une suite u tend vers +∞, alors toute suite supérieure à u tend aussi vers +∞.
De même si une suite u tend vers −∞, alors toute suite inférieure à u tend aussi vers −∞.

Opérations et limites

En général, si la suite u tend vers ℓ et la suite u' tend vers ℓ', alors la suite u+u' tend vers ℓ+ℓ'.
On peut faire la même chose avec les 4 opérations.

Les opérations avec des limites infinies sont assez intuitives pour la plupart (+∞ + un nombre = +∞ par exemple). En particulier pour les multiplications et divisions, on applique la règle des signes habituelle (+∞ × −5 = −∞)
On utilise aussi la convention que diviser par ∞ revient à multiplier par 0, et réciproquement. Par exemple, \(\lim\limits_{n → +∞} \sqrt n = +∞\) donc \(\lim\limits_{n → +∞} \dfrac{1}{\sqrt n} = 0\)

Formes indéterminées

Ces opérations ne permettent pas toujours d'obtenir une limite. Les 4 formes indéterminée sont \(\dfrac00\),    \(0×∞\),    \(\dfrac∞∞\)    et \(∞-∞\).
Dans ces cas, la limite doit être trouvée par un autre moyen. Soit en transformant l'écriture de la suite (factorisation par exemple) soit en utilisant les théorèmes de comparaison, ou un raisonnement par récurrence.