Fonctions de référence 1S

Le minimum à savoir pour réussir l'épreuve de maths au bac S.

Fonctions affines \(f(x)=ax+b\) et linéaires \(f(x)=ax\)

Les fonctions linéaires sont des fonctions affines particulières avec b = 0, et représentent les situations de proportionnalité.
Le nombre a est le coefficient directeur.

a > 0a < 0a = 0
fonction croissantefonction décroissantefonction constante

Ensemble de définition :
Maximum : aucun
Minimum : aucun
Représentation graphique : droite
Dérivée : \(f'(x)=a\)

Fonction carré \(f(x) = x^2\)

C'est un cas particulier de fonction polynôme du second degré : \(x^2=\color{blue}{1x^2}\color{red}{+0x+0}\)

Ensemble de définition :
Maximum : aucun
Minimum : 0
Symétrie : courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (fonction paire)
Courbe : parabole
Dérivée : \(f'(x)=2x\)

 

Fonctions polynômes du second degré \(f(x)=ax^2+bx+c\), avec \(a\neq0\)

On précise \(a\neq0\), sinon la fonction est affine.

Ensemble de définition :
Discriminant : \(Δ=b^2-4ac\)
Symétrie : courbe symétrique par rapport à la droite d'équation \(x=-\dfrac{b}{2a}\)
Courbe : parabole
Dérivée : \(f'(x)=2ax+b\)

 Δ > 0Δ = 0Δ < 0
a > 0

Maximum : aucun
Minimum : \(-\frac{Δ}{4a} < 0\)

Maximum : aucun
Minimum : \(-\frac{Δ}{4a} = 0\)

Maximum : aucun
Minimum : \(-\frac{Δ}{4a} > 0\)
 
Δ > 0

Δ = 0

Δ < 0
a < 0

Maximum : \(-\frac{Δ}{4a} > 0\)
Minimum : aucun

Maximum : \(-\frac{Δ}{4a} = 0\)
Minimum : aucun

Maximum : \(-\frac{Δ}{4a} < 0\)
Minimum : aucun

Fonction inverse \(f(x)=\dfrac1x\)

C'est un cas particulier de fonction homographique : \(\dfrac1x=\dfrac{\color{red}{0x+}\color{blue}{1}}{\color{blue}{1x}\color{red}{+0}}\)

Ensemble de définition : ℝ∖{0}
Valeur interdite : 0
Maximum : aucun
Minimum : aucun
Variations : décroissante sur ]−∞ ; 0[ , décroissante sur ]0 ; +∞[
Symétrie : courbe symétrique par rapport à l'origine du repère (fonction impaire)
Courbe : hyperbole
Dérivée : \(f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}\)

Fonctions homographiques \(f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}\)

On doit avoir \(c\neq0\), sinon la fonction est affine.
On doit aussi avoir \(ad-bc\neq0\) sinon la fonction est constante.

\(ad-bc<0\)\(ad-bc>0\)

décroissante sur \(\left]-\infty ; -\dfrac{d}{c}\right[\)
décroissante sur \(\left]-\dfrac{d}{c};+\infty\right[\)

croissante sur \(\left]-\infty ; -\dfrac{d}{c}\right[\)
croissante sur \(\left]-\dfrac{d}{c};+\infty\right[\)

Ensemble de définition : \(\mathbb{R}\setminus\left\{-\dfrac{d}{c}\right\}\)
Valeur interdite : \(-\dfrac{d}{c}\)
Maximum : aucun
Minimum : aucun
Symétrie : courbe symétrique par rapport au point de coordonnées \(\left(-\dfrac{d}{c};\dfrac{a}{c}\right)\)
Courbe : hyperbole
Dérivée : \(f'(x)=\dfrac{ad-bc}{(cx+d)^2}\)

Fonction racine carrée \(f(x)=\sqrt{x}\)

Ensemble de définition : ℝ+
Maximum : aucun
Minimum : 0
Variations : croissante
Courbe : demi-parabole
Dérivée : \(f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)

Fonction valeur absolue \(f(x)=|x|\)

Ensemble de définition :
Maximum : aucun
Minimum : 0
Variations : décroissante sur ℝ−, croissante sur ℝ+
Courbe : deux demi-droites
Dérivée : \(f'(x)=-1\) sur ]−∞ ; 0[, 1 sur ]0 ; +∞[. Non dérivable en 0.