Exponentielle

Le minimum à savoir pour réussir l'épreuve de maths au bac S.

Aperçu


Ensemble de définition : ℝ
Strictement croissante

Valeurs

  • \(\mathrm{e}^x > 0\) pour tout \(x\)
  • e ≈ 2,718
  • e0 = 1
  • \(\text{e}^a=b ⇔ a = \ln(b)\)
  • \(\text{e}^x > x\) pour tout \(x\)

Propriétés

La fonction exponentielle est la réciproque de la fonction logarithme :

Pour tout \(x > 0\) \(\text{e}^{\ln(x)} = x\)
Pour tout \(x\) de ℝ, \(\ln\left(\text{e}^x\right) = x\)

Elle a les mêmes propriétés que les puissances :

  • \(\text{e}^{a+b} = \text{e}^a \times \text{e}^b\)
  • \(\text{e}^{a-b} = \dfrac{\text{e}^a}{\text{e}^b}\)
  • \(\text{e}^{-a} = \dfrac{1}{\text{e}^a}\)
  • \(\left(\text{e}^a\right)^b = \text{e}^{a\times b}\)

Lien avec les puissances :
\[a^b = \text{e}^{b \ln(a)}\]

Dérivée - Primitive

La dérivée de la fonction \(\text{e}^x\) est \(\text{e}^x\).
Exigible (ROC) : L'exponentielle est l'unique fonction dérivable sur ℝ, égale à sa dérivée, et dont la valeur en 0 est 1.


La dérivée de la fonction \(\text{e}^{ax+b}\) est \(a \text{e}^{ax+b}\).
Et de façon générale, si \(u\) est une fonction, la dérivée de \(\text{e}^u\) est \(u' \text{e}^u\).

Par conséquent les primitives de la fonction \(\text{e}^x\) sont de la forme \(\text{e}^x+c\) où \(c\) est une constante.

Limites

\(\lim\limits_{x → +∞}\text{e}^x = +∞\) (démonstration exigible en ROC)

\(\lim\limits_{x → -∞}\text{e}^x = 0\)

\(\lim\limits_{x → 0}\dfrac{\text{e}^x-1}{x} = 1\) (dérivée de la fonction \(\text{e}^x\) en 0)

\(\lim\limits_{x → +∞}\dfrac{\text{e}^x}{x} = +∞\)

\(\lim\limits_{x → -∞} x \text{e}^x = 0\)