Dérivée

Le minimum à savoir pour réussir l'épreuve de maths au bac S.

Le principe général

Partant d'une fonction f, sa dérivée est une autre fonction, notée f ', qui donne des informations sur le sens de variation de f :

  • Quand la dérivée est positive, la fonction est croissante.
  • Quand la dérivée est négative, la fonction est décroissante.

Plus précisément, pour chaque valeur de x la dérivée donne le coefficient directeur de la tangente :


Tableau de signe correspondant :

\(x\)−1134
signe de \(f~'\)
0
+
0
+
\(f\)
\(\dfrac83\)
2

Dans sa définition formelle, le nombre dérivé est la limite du taux d'accroissement :
\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\]
On retrouve la formule du coefficient directeur, avec :
\(f(x+h) = y_B\)
\(f(x) = y_A\)
\(h = x_B-x_A\)


Illustration : \(h\) détermine la position de B par rapport à A.
\(\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\) est le coefficient directeur de la droite (AB).
Quand B se rapproche de A, \(h\) tend vers 0, et la droite (AB) se rapproche de la tangente en A.

Dérivées des fonctions de références

Fonction primitive f

Fonction dérivée f '

Exemple

nombre (fonction constante)0Si f(x) = 5 alors f '(x) = 0
ax+b (fonction affine) aSi f(x) = 5x+3 alors f '(x) = 5
x22x 
xnnxn−1Si f(x) = x3 alors f '(x) = 3x2
\(\dfrac1x\)\(-\dfrac{1}{x^2}\) 
\(\sqrt x\)\(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) 
\(\ln(x)\)\(\dfrac1x\) 
\(\text{e}^x\)\(\text{e}^x\) 

Calcul de dérivées

Si u(x) et v(x) sont deux fonctions :

 

Fonction primitive f

Fonction dérivée f '

ku (k est une constante)k
u+vu'+v'
u×vu'v + uv'
unnu'un−1
 \(\dfrac1u\) \(-\dfrac{u'}{u^2}\)
 \(\dfrac{u}{v}\) \(\dfrac{u'v-v'u}{v^2}\)
\(\text{e}^u\)\(u'\text{e}^u\)
\(\ln(u)\)\(\dfrac{u'}{u}\)
\(f(ax+b)\)\(a f'(ax+b)\)
\(f(u(x))\)\(u'(x)×f'(u(x))\)