Coefficient binomial

Le minimum à savoir pour réussir l'épreuve de maths au bac S.

Définition et exemple

Si on représente par un arbre une série de \(n\) épreuves de Bernoulli, le coefficient binomial \(\dbinom{n}{k}\) est défini comme le nombre de chemins conduisant à \(k\) succès (\(k\) étant un entier entre 0 et \(n\)).

Dans l'exemple ci-dessous on a pris \(n=3\) épreuve de Bernoulli, donc un arbre à 3 étages. À chaque expérience on note S un succès et E un échec. La probabilité de chaque n'a aucune importance ici, on ne s'intéresse qu'au nombre de succès, qu'on note \(k\).

Dans cet exemple avec \(n=3\), \(k\) peut prendre 4 valeurs :
Pour \(k=0\) : il y a 1 chemin qui mène à 0 succès, ce qu'on note \(\dbinom30=1\).
Pour \(k=1\) : il y a 3 chemins qui mènent à 1 succès, ce qu'on note \(\dbinom31=3\).
Pour \(k=2\) : il y a 3 chemins qui mènent à 2 succès, ce qu'on note \(\dbinom32=3\).
Pour \(k=3\) : il y a 1 chemin qui mène à 3 succès, ce qu'on note \(\dbinom33=1\).

\(\dbinom{n}{k}\) représente aussi le nombre de choix de \(k\) éléments parmi \(n\). C'est pour cette raison qu'on le lit « k parmi n » ou « choix de k parmi n » ou « combinaisons de k parmi n ». Le programme du lycée n'évoque pas ce lien avec le nombre de choix, mais c'est pourtant bien utile.

Calcul

Les coefficients binomiaux interviennent surtout dans les calculs de probabilité avec la loi binomiale.

TIn nCr k
TI-frn Combinaison k
Casion nCr k
AlgoboxALGOBOX_COEFF_BINOMIAL(n,k)
ALGOBOX_NB_COMBINAISONS(n,k)
Pythonspecial.binom(n, k)
Rchoose(n, k)
XCasbinomial(n, k)

Calcul "manuel" : \({\dbinom nk} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)

Propriétés de base

Quel que soit la valeur de \(n\), on a toujours \(\dbinom{n}{0} = \dbinom{n}{n} = 1\) : en effet il n'y a qu'une seule façon d'avoir 0 ou n succès, c'est quand toutes les épreuves de Bernoulli ont la même issue.
Quel que soit la valeur de \(n\), on a toujours \(\dbinom{n}{1} = \dbinom{n}{n-1} = n\) : en effet il y a \(n\) façons d'avoir 1 succès exactement, c'est quand toutes les épreuves de Bernoulli sont des échecs sauf une. Comme il y a \(n\) épreuves cela fait \(n\) chemins. Pour la même raison il y a \(n\) façons d'avoir 1 échec exactement, soit \(n-1\) succès.
Quel que soient les valeurs de \(n\) et \(k\), on a toujours \(\dbinom{n}{k}=\dbinom{n}{n-k}\) : en effet, dans l'arbre autant de chemins mènent à \(k\) succès et à \(k\) échecs. Or obtenir \(k\) succès revient à obtenir \(n-k\) échecs.

Relation et triangle de Pascal

Exigible (ROC) : \(\dbinom nk + \dbinom{n}{k+1} = \dbinom{n+1}{k+1}\).

Cette relation permet de calculer par récurrence tous les coefficients binomiaux sous forme de tableau triangulaire, le triangle de Pascal :

n \ k0123456
01
111
2121
31331
414641
515101051
61615201561

En additionnant 2 coefficients côte à côte \(\dbinom nk + \dbinom{n}{k+1}\), on trouve le coefficent sous le second \(\dbinom{n+1}{k+1}\).

Voir aussi

Épreuve de Bernoulli
Loi binomiale
Raisonnement par récurrence